Nace en Pergamino, provincia de Buenos Aires, el 23 de enero de 1895.
Comienza sus estudios de agronomía en la Escuela de Agricultura de Santa Catalina, la que más tarde sería la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad de La Plata.
En 1915, ingresa en la Facultad de Agronomía y Veterinaria de la UBA donde desempeña gran parte de su actividad como investigador y docente. Entre 1926 y 1947, Parodi fue además, Profesor de Fisiología Vegetal y Fitogeografía en la Facultad de Agronomía y Veterinaria de la UBA, Profesor de Botánica Agrícola en la Facultad de Agronomía de La Plata y del Museo de Historia Natural de esa ciudad, y Jefe del Departamento de Botánica del mencionado museo.
Entre 1939 y 1945 fue Vicedirector del Museo de La Plata y en 1932 Vicedecano de la Facultad de Agronomía de la UBA.
Las publicaciones de L. Parodi superan las 150, incluida la Enciclopedia Argentina de Agricultura y Jardinería, en tres tomos (1953), el cual representa una síntesis de la botánica y la agronomía desarrolladas hasta ese entonces en el país.
Siendo alumno aún, publicó: Claves para la determinación de los géneros de gramíneas silvestres en los alrededores de Buenos Aires, el cual es aún hoy un texto clásico.
Fue distinguido y premiado por su labor tanto en el ámbito nacional como internacional. Ocupó importantes cargos. Varias academias de ciencias extranjeras lo contaron como su miembro: la American Academy of Arts and Sciences de Boston, la Linnean Society of London, la Real Sociedad Española de Historia Natural, etc.
Impulsor del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), se desempeña como su Director por varios períodos.
Muere en Buenos Aires el 21 de abril de 1966.